Circular note — Q3 : glissement d'hypothèses (pas cercle vicieux)

Note courte liée à task-20260416-cb62 et au livrable docs/q1c-q3-regular-equivalence.md. Diagnostic issu de docs/lore/delib-20260416-102e/responses/feynman.md §Q3.

Le faux paradoxe

L'énoncé de la Question 3 de docs/problem.md annonce une équivalence entre :

(Q1) la stabilité ponctuelle \(\forall \sigma, \exists \tilde\theta\) tel que \(p_\theta * \gamma_\sigma \propto e^{-\tilde\theta^\top \varphi}\) ;
(Q3) l'existence d'un chemin dérivable \(t \mapsto \theta_t\) vérifiant l'EDP (6).

Lu naïvement, ce serait circulaire : (6) se dérive en supposant que \(\theta_t\) existe et est dérivable, mais (Q1) ne donne que l'existence ponctuelle — aucune structure dérivable n'est donnée. Comment peut-on prouver l'équivalence si la « direction facile » (Q1 \(\Rightarrow\) Q3) suppose précisément ce qu'elle prétend construire ?

Le diagnostic (Feynman)

Ce n'est pas un cercle vicieux : c'est un glissement d'hypothèses. Le PDF d'Etienne définit la stabilité (4) de manière ponctuelle, puis utilise implicitement trois hypothèses supplémentaires dans le passage à (6) :

(H2) Minimalité. \(\{\varphi_i, 1\}\) linéairement indépendantes — sinon plusieurs \(\tilde\theta\) réalisent la même convolée, et la notion même de « chemin \(\theta_t\) » est mal définie.
(H3) Régularité \(C^1\) du chemin. L'application \(\sigma \mapsto \tilde\theta(\sigma)\) doit être \(C^1\) pour que \(\dot\theta_t\) ait un sens. Ceci est une conséquence du théorème des fonctions implicites (jacobienne = matrice de Fisher \(> 0\) sous (H2)) — mais il faut l'invoquer.
(H4) Sous-gaussianité uniforme / unicité de la chaleur. Pour la direction réciproque \((6) \Rightarrow\) (Q1), l'argument Cole–Hopf produit une solution de l'équation de la chaleur à donnée initiale \(p_\theta\) ; l'unicité de cette solution exige Tychonoff 1935 (croissance sous-gaussienne) ou — plus simple — Widder 1944 (positivité). Sans unicité, l'EDP (6) n'identifie pas \(p_{\theta_t}\).

La réparation

L'équivalence est vraie sous la notion raffinée de stabilité régulière : Q1 + (H2) + (H3) + (H4). Cf. docs/q1c-q3-regular-equivalence.md, Théorème 6.1.

La direction \((\Rightarrow)\) se dérive sans mystère ; la direction \((\Leftarrow)\) se prouve par Cole–Hopf normalisé (Lemme 4.2) + unicité de la chaleur (Widder 1944 dans le cas densitaire, Tychonoff 1935 en général).

Morale

Aucune circularité logique. Juste un énoncé sous-spécifié qu'il faut resserrer. La synthèse de la délibération (delib-20260416-102e, §D2) énumère les trois sauts cachés comme hypothèses à étiqueter explicitement — la présente note les regroupe sous l'étiquette « stabilité régulière » et renvoie au livrable principal pour la preuve.