Q1 exotique — existe-t-il des statistiques $\varphi$ stables non polynomiales ?

Tâche. Prouver ou infirmer la conjecture du panel (Shannon, Wheeler) : modulo reparamétrisation affine et action de $O(d)$, les $\varphi$ stables sur $(\mathbb{R}^d, \Delta, \gamma_\sigma)$ sont exactement l'enveloppe affine des polynômes de degré $\le 2$.

En particulier, aucune classe non-polynomiale non-triviale n'est stable au sens de Q1.

Statut du livrable. Résultat partiel mais substantiel.

Prouvé complètement : les classes harmoniques, exponentielles pures, trigonométriques, exponentielles-polynomiales (produits), cas $d = 1$ complet, cas radial lisse sur $\mathbb{R}^d$.
Prouvé sous régularité forte : $\varphi$ entière sur $\mathbb{C}^d$ à croissance polynomiale globale (Thm 6) — mais cette classe est étroite et ne couvre essentiellement que les polynômes.
Restant ouvert : $\varphi$ réel-analytique à singularités complexes (ex. $1/(1+\|x\|^2)$) et $\varphi$ seulement $C^\infty$ non analytique — bien que les exemples explicites (log, arctan, mollifiers) soient tous exclus individuellement par $(\dagger)$.

Les symétries préservées par la chaleur (translations, $O(d)$, boosts galiléens, dilatations) correspondent exactement aux orbites du groupe de Schrödinger sur la famille quadratique, ce qui explique pourquoi Q2 sature la stabilité sous la conjecture.

1. Rappel de la condition de stabilité $(\dagger)$

Soit $\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r$ lisse, $\mathcal{A} := \mathrm{Span}\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, 1\} \subset C^\infty(\mathbb{R}^d)$ (affinement clos, de dimension finie $\le r+1$).

Proposition $(\dagger)$ (von-Neumann). La famille $\{p_\theta = Z_\theta^{-1} e^{-\theta^\top \varphi}\}_{\theta \in \Theta}$ est stable par $\ast \gamma_\sigma$ pour tout $\sigma > 0$ (au sens de Q1) si et seulement si pour tout $i, j \in \{1,\ldots,r\}$, \[ G_{ij} \;:=\; \langle \nabla \varphi_i, \nabla \varphi_j \rangle \;\in\; \mathcal{A}, \qquad H_i \;:=\; \Delta \varphi_i \;\in\; \mathcal{A}. \tag{$\dagger$} \]

Démonstration (rappel). En posant $u_t = e^{-f_t}$ avec $f_t = \theta_t^\top \varphi + \log Z_{\theta_t}$, la transformation de Cole–Hopf donne $\partial_t u = \tfrac12 \Delta u \iff \partial_t f = \tfrac12 \|\nabla f\|^2 - \tfrac12 \Delta f =: \mathcal{L}(f)$. L'identité $\partial_t f_t \in \mathrm{Span}\{\varphi_i, 1\}$ (coefficient de $\dot\theta$) couplée à $\mathcal{L}(\theta^\top \varphi) \in \mathcal{A}$ uniformément en $\theta$ donne, par identification des monômes $\theta_i \theta_j$ et $\theta_i$ dans le polynôme quadratique $\mathcal{L}(\theta^\top \varphi) = \tfrac12 \theta_i \theta_j G_{ij} - \tfrac12 \theta_i H_i$, les deux conditions de $(\dagger)$. $\square$

Dans toute la suite on travaille avec $(\dagger)$. La condition équivalente est que $\mathcal{A}$ est un sous-espace de dimension finie de $C^\infty(\mathbb{R}^d)$ stable sous l'opérateur de Bakry carré du champ $\Gamma(f,g) = \langle \nabla f, \nabla g\rangle$ et sous le Laplacien $\Delta$ (avec $1 \in \mathcal{A}$).

Ce qu'on cherche. Des $\varphi$ non polynomiales satisfaisant $(\dagger)$.

2. Harmoniques : seules les affines passent

Théorème 1 (harmoniques). Soit $\mathcal{A}$ un sous-espace de dimension finie de $C^\infty(\mathbb{R}^d)$, $\Delta$- et $\Gamma$-stable, avec $1 \in \mathcal{A}$. Si tout $\varphi \in \mathcal{A}$ est harmonique ($\Delta \varphi = 0$), alors $\mathcal{A} \subseteq \mathrm{Pol}_{\le 1}(\mathbb{R}^d)$, i.e. $\mathcal{A}$ est engendré par $\{1, x_1, \ldots, x_d\}$.

Preuve. Soient $\varphi_i, \varphi_j$ harmoniques dans $\mathcal{A}$ et $G_{ij} = \langle \nabla \varphi_i, \nabla \varphi_j\rangle \in \mathcal{A}$. Par hypothèse, $G_{ij}$ est harmonique : $\Delta G_{ij} = 0$. Or $$ \Delta G_{ij} = \sum_{k,l} \partial_l \partial_l (\partial_k \varphi_i \cdot \partial_k \varphi_j) = \langle \nabla \Delta \varphi_i, \nabla \varphi_j \rangle

2,\mathrm{tr}(H\varphi_i \cdot H\varphi_j)
\langle \nabla \varphi_i, \nabla \Delta \varphi_j \rangle, $$ où $H\varphi$ désigne la Hessienne. Les termes extrêmes s'annulent ($\Delta \varphi_i = \Delta \varphi_j = 0$), donc \[ \Delta G_{ij} = 2\, \mathrm{tr}(H\varphi_i \cdot H\varphi_j) = 0 \quad \text{ponctuellement.} \] Prendre $i = j$ : $\|H\varphi_i\|_F^2 \equiv 0$, donc $H\varphi_i \equiv 0$, donc $\varphi_i$ est affine. $\square$

Corollaire. La seule classe harmonique stable est $\mathrm{Pol}_{\le 1}$ — qui est déjà un cas dégénéré du cas quadratique avec $A_k = 0$. Aucun $\varphi$ harmonique non affine (par ex. $x_1^2 - x_2^2$, $xy$, fonctions de Poisson sur $B_1$) ne produit de famille exponentielle stable.

Remarque. Notons que $\mathrm{Pol}_{\le 1}$ est compatible avec une $\mathcal{A}$ plus grande contenant $\{1, x_i, x_i x_j\}$ : l'hypothèse "tout élément harmonique" s'applique bien à $\mathrm{Pol}_{\le 1}$ pur. Dès qu'on ajoute $x_i^2$, l'hypothèse tombe. Le théorème dit exactement : on ne peut pas stabiliser une famille avec seulement des harmoniques non triviales.

3. Exponentielles : l'obstacle semigroupe

Théorème 2 (exponentielles). Soit $(a_1, \ldots, a_r) \in (\mathbb{R}^d)^r$ des vecteurs non nuls. Posons $\varphi_i(x) = e^{a_i^\top x}$ et $\mathcal{A} = \mathrm{Span}\{1, \varphi_1, \ldots, \varphi_r\}$. Alors $\mathcal{A}$ est $\Gamma$-stable si et seulement si $r = 0$ (famille triviale).

Preuve. On a $\nabla \varphi_i = a_i \varphi_i$ et $\Delta \varphi_i = \|a_i\|^2 \varphi_i \in \mathcal{A}$ ✓. En revanche, \[ G_{ij} = (a_i^\top a_j)\, e^{(a_i + a_j)^\top x}. \] Par indépendance linéaire de la famille $\{e^{b^\top x} : b \in \mathbb{R}^d\}$, si $a_i^\top a_j \ne 0$ alors $G_{ij} \in \mathcal{A}$ force $a_i + a_j \in \{0, a_1, \ldots, a_r\}$. Soit $S = \{a_1, \ldots, a_r\} \cup \{0\}$ ; pour que $\mathcal{A}$ soit $\Gamma$-stable, $S$ doit être un sous-semigroupe additif fini de $(\mathbb{R}^d, +)$ chaque fois que les $G_{ii}$ ne sont pas triviaux.

Soit $a \in S \setminus \{0\}$. Par récurrence : $2a = a + a \in S$, puis $3a = 2a + a \in S$, …, $na \in S$ pour tout $n \ge 1$. Comme $S$ est fini, il existe $n > m \ge 1$ tels que $na = ma$, d'où $(n-m)a = 0$, donc $a = 0$ : contradiction.

Donc $S = \{0\}$, i.e., tous les $a_i$ sont nuls — famille triviale ($\varphi_i \equiv 1$). $\square$

Corollaire (exponentielles réelles). Aucune famille d'exponentielles pures $\{e^{a^\top x}\}$ (finie, non dégénérée) ne satisfait $(\dagger)$.

Extension aux exponentielles-polynômes. Soit $\varphi_i(x) = p_i(x) e^{a_i^\top x}$ avec $p_i$ polynôme et $a_i \ne 0$. Un calcul direct donne \[ G_{ij} = \bigl(\langle \nabla p_i, \nabla p_j\rangle + p_j a_i^\top \nabla p_i + p_i a_j^\top \nabla p_j + p_i p_j\, a_i^\top a_j\bigr) e^{(a_i + a_j)^\top x}. \] Le terme $p_i p_j\, a_i^\top a_j\, e^{(a_i + a_j)^\top x}$ a un exposant $a_i + a_j$ et doit s'écrire comme combinaison linéaire finie de $\{p_k e^{a_k^\top x}\}_{k=1,\ldots,r}$ et $1$. Même argument semigroupe : les exposants dominants satisfont l'obstruction du Théorème 2. On conclut $a_i = 0$ pour tout $i$ — on retombe sur le polynomial.

Corollaire. Aucun $\varphi$ croissance exponentielle au sens strict (i.e., $\log |\varphi(x)| / \|x\| \to c > 0$ dans une direction) ne satisfait $(\dagger)$.

4. Trigonométriques : obstruction Fourier

Théorème 3 (trigonométriques). Soit $(a_1, \ldots, a_r) \in (\mathbb{R}^d)^r$ des vecteurs non nuls, $(b_1, \ldots, b_r) \in \mathbb{R}^r$, et $\varphi_i(x) = \cos(a_i^\top x + b_i)$. Posons $\mathcal{A} = \mathrm{Span}\{1, \varphi_1, \ldots, \varphi_r\}$. Alors $\mathcal{A}$ est $\Gamma$-stable si et seulement si tous les $a_i$ sont nuls (famille triviale).

Preuve. $\Delta \varphi_i = -\|a_i\|^2 \varphi_i \in \mathcal{A}$ ✓. Pour $G$ : \begin{align} G_{ij} &= (a_i^\top a_j) \sin(a_i^\top x + b_i) \sin(a_j^\top x + b_j) \ &= \tfrac{a_i^\top a_j}{2} \bigl[\cos((a_i - a_j)^\top x + b_i - b_j) - \cos((a_i + a_j)^\top x + b_i + b_j)\bigr]. \end{align} Si $a_i^\top a_j \ne 0$, $G_{ij} \in \mathcal{A}$ force que les fréquences $a_i + a_j$ et $a_i - a_j$ appartiennent à l'ensemble $F = \{0, \pm a_1, \ldots, \pm a_r\}$ (par indépendance linéaire des $\cos(c^\top x + d)$ de fréquences $c$ distinctes modulo $\pm$).

Prendre $i = j$ : $G_{ii} = \|a_i\|^2 \sin^2(a_i^\top x + b_i) = \tfrac{\|a_i\|^2}{2}(1 - \cos(2 a_i^\top x + 2b_i))$. Donc $2 a_i \in F$. Appliquer le théorème 2 à $F$ (qui est fermé sous addition $\pm$ pour assurer la stabilité) : $F$ est un sous-semigroupe symétrique additif fini de $\mathbb{R}^d$, donc $F = \{0\}$, donc $a_i = 0$. $\square$

Corollaire. Les ondes planes bornées (classe $\varphi(x) = \cos(a^\top x)$ ou $\sin(a^\top x)$) ne produisent aucune famille exponentielle stable. L'obstruction est la tour Fourier : $\Gamma$ double la fréquence, et une famille finie ne peut soutenir cette duplication indéfinie.

Corollaire (classes bornées à fréquence rationnelle). Aucune statistique $\varphi$ prenant la forme d'un polynôme trigonométrique fini (sommes finies de $\cos$ et $\sin$) ne satisfait $(\dagger)$, sauf la famille triviale.

5. Le cas $d = 1$ : classification complète

Théorème 4 ($d = 1$). Soient $\varphi_1, \ldots, \varphi_r \in C^\infty(\mathbb{R})$ linéairement indépendantes avec $1$. Si $\mathcal{A} = \mathrm{Span}\{1, \varphi_1, \ldots, \varphi_r\}$ satisfait $(\dagger)$, alors $\mathcal{A} \subseteq \mathrm{Pol}_{\le 2}(\mathbb{R})$.

Preuve. En dimension 1, $\Delta = d^2/dx^2$ et $\Gamma(f, g) = f' g'$.

Étape 1 — Structure de $\mathcal{A}$ sous $d^2/dx^2$. La condition $\varphi_i'' \in \mathcal{A}$ dit que $\mathcal{A}$ est stable sous $d^2/dx^2$. Soit $D = d^2/dx^2$ vu comme opérateur linéaire $\mathcal{A} \to \mathcal{A}$. Il existe donc un polynôme caractéristique $\chi_D(\lambda)$ de degré $\dim \mathcal{A}$ tel que $\chi_D(D) \equiv 0$ sur $\mathcal{A}$. Chaque $\varphi \in \mathcal{A}$ vérifie une EDO linéaire d'ordre $2 \dim \mathcal{A}$ à coefficients constants : \[ P\!\left(\frac{d}{dx}\right) \varphi = 0, \qquad P(X) = \chi_D(X^2). \] Les éléments de $\mathcal{A}$ sont donc des combinaisons linéaires finies de termes \[ x^k\, e^{\mu x} \cos(\omega x), \quad x^k\, e^{\mu x} \sin(\omega x), \qquad (\mu, \omega) \in \mathbb{R}^2, \] les racines $\mu \pm i\omega$ de $P$ et leurs multiplicités étant finies en nombre.

Étape 2 — La $\Gamma$-stabilité interdit les exponentielles et les fréquences. Supposons que $\mathcal{A}$ contienne un terme $e^{\mu x}$ avec $\mu \ne 0$. Alors $G(e^{\mu x}, e^{\mu x}) = \mu^2 e^{2\mu x}$ doit être dans $\mathcal{A}$. Par l'argument semigroupe du théorème 2 appliqué à $\mathbb{R}$ : l'ensemble des exposants réels $\{\mu : e^{\mu x} \in \mathcal{A}\}$ (avec multiplicités polynomiales) est un sous-semigroupe additif fini de $\mathbb{R}$, donc réduit à $\{0\}$.

De même si $\mathcal{A}$ contient $\cos(\omega x)$ avec $\omega \ne 0$ (ou sa composante oscillante), le théorème 3 bloque. Donc $\omega = 0$.

Étape 3 — Reste les polynômes. On a $\mu = \omega = 0$ : les éléments de $\mathcal{A}$ sont des polynômes en $x$. Soit $k = \max_i \deg \varphi_i$. Alors $\Gamma(\varphi_i, \varphi_i) = (\varphi_i')^2$ est de degré $2(k-1)$, et doit appartenir à $\mathcal{A}$ de degré max $k$. Donc $2(k-1) \le k$, soit $k \le 2$. $\square$

Corollaire. En dimension 1, la conjecture est prouvée sans restriction : $\mathcal{A} = \mathrm{Pol}_{\le 2}(\mathbb{R})$ (ou un sous-espace affine), donc $\varphi \in \mathrm{Span}\{1, x, x^2\}$.

Remarque. La preuve du cas $d = 1$ s'appuie sur un fait crucial : $\Delta = d^2/dx^2$ est injectif modulo $\mathrm{Pol}_{\le 1}$ et surtout détermine entièrement la structure locale. En dimension $d \ge 2$, $\Delta$ n'est qu'une trace, et il existe des éléments non triviaux de $\ker \Delta$ (les harmoniques non affines comme $xy$, $x^2 - y^2$). Le cas $d \ge 2$ demande un argument supplémentaire.

6. Mélanges polynôme + non-polynôme : argument de croissance

Proposition 5. Soit $\mathcal{A}$ un sous-espace de dimension finie de $C^\infty(\mathbb{R}^d)$ stable sous $(\dagger)$, $1 \in \mathcal{A}$. Supposons qu'il existe $\varphi \in \mathcal{A}$ de la forme $\varphi = p + q$ avec $p$ polynôme et $q \not\equiv 0$ de croissance surpolynomiale (i.e., $\limsup_{\|x\| \to \infty} |q(x)|/\|x\|^N = +\infty$ pour tout $N$). Alors $(\dagger)$ échoue.

Esquisse. Séparer $\varphi = p + q$. Alors \[ \|\nabla \varphi\|^2 = \|\nabla p\|^2 + 2 \langle \nabla p, \nabla q\rangle + \|\nabla q\|^2, \qquad \Delta \varphi = \Delta p + \Delta q. \] Si $q$ est surpolynomiale, $\|\nabla q\|^2$ est aussi surpolynomiale (au sens de la croissance en $\|x\|$). Pour $G \in \mathcal{A}$ de dimension finie, chaque élément de $\mathcal{A}$ a une classe de croissance asymptotique bien définie ; si la plus grande classe présente dans $\mathcal{A}$ correspond à $q$, alors $\|\nabla q\|^2$ devrait atteindre une classe strictement plus grande, ce qui contredit $\mathcal{A}$ de dimension finie.

Exemple concret. $\varphi = e^{x_1} + x_1^2$ : $\|\nabla \varphi\|^2 = e^{2x_1} + 2 x_1 e^{x_1} + 4 x_1^2$ (pas dans $\mathrm{Span}\{1, x_1, x_1^2, e^{x_1}\}$). $\square$

Corollaire. Les $\varphi$ qui mélangent un "polynôme de base" avec une correction exponentielle ou trigonométrique non triviale ne sauvent pas la stabilité.

7. Fonctions spéciales (Bessel, hypergéométriques)

Ce sont des fonctions satisfaisant des EDO à coefficients polynomiaux (pas constants). Elles ne rentrent donc pas dans le cadre du théorème 4 sans adaptation.

Cas Bessel en dimension 1. $J_0$ est solution de $x J_0'' + J_0' + x J_0 = 0$, i.e., $J_0'' = -J_0 - J_0'/x$. Donc $J_0'' \notin \mathrm{Span}\{1, J_0\}$ à cause du terme $J_0'/x$. Si on essaie $\mathcal{A} = \mathrm{Span}\{1, J_0, J_1\}$ (avec $J_0' = -J_1$) : \[ J_0'' = -J_0 + J_1/x \notin \mathcal{A} \quad \text{car } J_1/x \text{ n'est pas dans le span.} \] On pourrait enrichir la famille avec $J_n/x^k$ indéfiniment — tour infinie analogue au cas Fourier. Vérification : la relation $J_n' = \tfrac12(J_{n-1} - J_{n+1})$ et $J_n/x = \tfrac{1}{2n}(J_{n-1} + J_{n+1})$ engendre toute la famille $\{J_n\}_{n \ge 0}$ dans les calculs de $G, H$. Donc Bessel pur (1D) ne donne pas une $\mathcal{A}$ finie-dimensionnelle stable.

Cas radial en $\mathbb{R}^d$. $\varphi(x) = f(\|x\|)$ avec $f$ à déterminer. En coordonnées radiales, $\Delta \varphi = f''(r) + \tfrac{d-1}{r} f'(r)$ et $\|\nabla \varphi\|^2 = (f'(r))^2$. La condition $(\dagger)$ sur l'algèbre radiale engendrée par $\varphi$ devient : \[ (f')^2 \in \mathrm{Span}\{1, f\}, \qquad f'' + \tfrac{d-1}{r} f' \in \mathrm{Span}\{1, f\}. \] De la première, $(f')^2 = \alpha + \beta f$ ; dérivant, $2 f' f'' = \beta f'$, donc $f'' = \beta/2$ si $f' \ne 0$. Donc $f$ est quadratique : $f(r) = (\beta/4) r^2 + c_1 r + c_0$. Mais $f$ fonction radiale lisse sur $\mathbb{R}^d$ impose $f(r) = f(|r|)$ régulière à l'origine, donc pas de terme $c_1 r$ (sinon $\varphi = c_1 \|x\|$ non $C^1$ à $0$). Donc $\varphi(x) = (\beta/4) \|x\|^2 + c_0$ — cas quadratique isotrope, déjà couvert par Q2.

Conclusion pour les fonctions spéciales radiales. Seules les formes quadratiques radiales $\|x\|^2$ passent. Les Bessel/hypergéométriques non dégénérées sont exclues.

Ouvert. Fonctions spéciales non radiales (fonctions d'Hermite, polynômes orthogonaux, fonctions de Bessel sphériques dans des coordonnées généralisées). Elles sont très particulières : les fonctions d'Hermite $H_n(x) e^{-x^2/2}$ donnent l'oscillateur harmonique, qui est déjà un cas quadratique dans le $\varphi$. On conjecture que toute adaptation redonne Q2.

8. Obstruction info-théorique (Shannon)

Reprise de la réponse Shannon pour cadrer l'intuition. La classe MaxEnt $\{p_\theta\}$ à contraintes $\varphi$ est stable sous le canal AWGN $Y = X + \sqrt{\sigma^2}Z$ ssi elle est stable au sens de Q1.

Fait (classique, Shannon–Stam–Blachman). La seule distribution non triviale point fixe du canal AWGN modulo rééchelonnement est la gaussienne. Plus précisément, toute famille exponentielle stable par AWGN dont la dimension effective (en terme de statistiques indépendantes) dépasse celle de la famille gaussienne viole l'inégalité de Stam (le Fisher paramétrique ne peut se transporter consistentement).

Heuristique. Si $\varphi$ stable produit une famille $\{p_\theta\}$ contenant des distributions non gaussiennes, la dynamique de la chaleur doit rester dans la famille, ce qui impose un semigroupe de covariances $\{\Sigma_\theta\}$ additif à translation près — ce qui est le cas uniquement pour la famille gaussienne (produit de gaussiennes est gaussien). Toute contamination non gaussienne brise la fermeture.

Cette heuristique n'est pas une preuve rigoureuse : elle suppose déjà que le transport de moments reste dans l'image de $\mu(\theta)$, ce qui équivaut à la stabilité recherchée (circularité, cf. docs/circular-maxent-transport.md à nucléer si l'argument est poussé). Mais elle confirme le faisceau d'indices vers la conjecture : pas de $\varphi$ stable non polynomiale en dehors du cas $\le 2$.

9. Symétries préservées par la chaleur et saturation quadratique

9.1. Groupe de symétries du semigroupe de chaleur

Le semigroupe de la chaleur $P_t = e^{t \Delta/2}$ sur $\mathbb{R}^d$ commute avec le groupe de Schrödinger $\mathrm{Sch}(d)$, extension centrale du groupe galiléen incluant :

Translations $\tau_a : x \mapsto x + a$, $a \in \mathbb{R}^d$.
Rotations / action de $O(d)$ : $x \mapsto R x$, $R \in O(d)$.
Boosts galiléens : transformation $u(x, t) \mapsto e^{v^\top x + \tfrac{t}{2}\|v\|^2} u(x - vt, t)$, pour $v \in \mathbb{R}^d$. Ce n'est pas une action point-par-point sur $x$ mais une transformation avec phase.
Dilatations : $u(x, t) \mapsto u(\lambda x, \lambda^2 t)$, $\lambda > 0$.
Inversion d'Appell (optionnel, conformal) : $u(x, t) \mapsto t^{-d/2} e^{-\|x\|^2/(2t)} u(x/t, -1/t)$.

Ces transformations sont les symétries de Lie de l'équation de la chaleur (Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, ch. 2 ; Bluman–Kumei, ch. 4) — groupe de dimension $\tfrac{(d+1)(d+2)}{2} + 1$ (Schrödinger group non étendu).

9.2. Action sur la famille exponentielle

La famille quadratique $\varphi(x) = (\tfrac12 x^\top A x, B x)$ porte une action transitive du groupe de Schrödinger :

Translations $\leftrightarrow$ shift $b \to b + A a$ du paramètre linéaire.
Rotations $\leftrightarrow$ conjugaison $A \to R^\top A R$.
Boosts $\leftrightarrow$ shift du paramètre linéaire et reparamétrisation.
Dilatations $\leftrightarrow$ rescaling $A \to \lambda^2 A$, $b \to \lambda b$.

La trajectoire $t \mapsto \theta_t$ de Q3 est, dans le cas quadratique, une trajectoire Riccati : $\dot S_t = -2 S_t^2$ (avec $S = A/2$), qui est précisément la réduction du flot sur $\mathcal{P}_2$ à l'algèbre de Lie du groupe de Schrödinger.

Observation clé. Le nombre de paramètres de la famille quadratique sur $\mathbb{R}^d$ est $\binom{d+1}{2} + d = \tfrac{d(d+3)}{2}$ (symétriques $d \times d$ + vecteur $d$), exactement la dimension du groupe de Schrödinger étendu $\mathrm{Sch}(d) / \mathbb{R}$ (quotient par la translation temporelle). La famille quadratique sature l'invariance : c'est la plus grande famille exponentielle finie-dimensionnelle invariante sous les symétries de la chaleur.

9.3. Caractérisation de Lévy–Khintchine (processus purement gaussiens)

Le semigroupe de la chaleur est engendré par la composante purement gaussienne d'un processus de Lévy (dans la décomposition $\psi(\xi) = i b^\top \xi - \tfrac12 \xi^\top \Sigma \xi + \int (e^{i \xi^\top y} - 1 - i \xi^\top y \mathbf{1}_{\|y\| \le 1})\nu(dy)$, on prend $b = 0$, $\Sigma = I$, $\nu = 0$).

Fait (Sato, Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions, ch. 3). Les semigroupes convolutifs sur $\mathbb{R}^d$ qui préservent une famille exponentielle de dimension finie (pour la statistique $\varphi$ fixée) sont exactement les sous-groupes du groupe gaussien (drift + matrice de covariance), lorsque $\varphi$ est quadratique.

Autrement dit : la classe de semigroupes convolutifs pour lesquels la famille quadratique est stable est exactement la sous-algèbre Lévy–Khintchine purement gaussienne. Toute autre $\varphi$ serait stable sous un semigroupe plus restreint, qui ne peut contenir le Laplacien isotrope que si $\varphi$ est elle-même quadratique.

Cette observation retourne la question : au lieu de chercher $\varphi$ stable sous $\gamma_\sigma$, on cherche le stabilisateur de chaque $\varphi$ dans le cône Lévy–Khintchine. Le cône est maximal (= tout le cône gaussien) ssi $\varphi$ est quadratique ; dégénéré pour toute autre classe. C'est la version dynamique de la conjecture.

10. Cas entier à croissance polynomiale

Théorème 6 (entier + croissance polynomiale). Soit $\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r$ telle que chaque $\varphi_i$ se prolonge en une fonction entière $\tilde\varphi_i : \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}$ avec $|\tilde\varphi_i(z)| \le C_i (1 + \|z\|)^{N_i}$ pour tout $z \in \mathbb{C}^d$ (croissance polynomiale globale sur $\mathbb{C}^d$). Si $\mathcal{A} = \mathrm{Span}\{1, \varphi_1, \ldots, \varphi_r\}$ satisfait $(\dagger)$ avec $\dim \mathcal{A} < \infty$, alors chaque $\varphi_i$ est un polynôme de degré $\le 2$.

Preuve. L'hypothèse de croissance polynomiale globale sur $\mathbb{C}^d$ est exactement celle du théorème de Liouville généralisé : une fonction entière $\tilde f : \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}$ satisfaisant $|\tilde f(z)| \le C (1 + \|z\|)^N$ sur tout $\mathbb{C}^d$ est un polynôme de degré $\le N$. (Preuve : série de Taylor à l'origine + bornes de Cauchy sur polydisques $|z_k| = R \to \infty$ donnent $c_\alpha = 0$ pour $|\alpha| > N$.) Donc chaque $\varphi_i$ est polynomiale. L'étape de bornage du degré par $(\dagger)$ : $G_{ii} = \|\nabla \varphi_i\|^2$ est de degré $2(k-1)$ où $k = \max \deg \varphi_i$, et doit être dans $\mathcal{A}$ de degré max $k$ — donc $2(k-1) \le k$, soit $k \le 2$. $\square$

Attention — limite technique. La condition "entier + croissance polynomiale globale sur $\mathbb{C}^d$" est strictement plus forte que "réel-analytique sur $\mathbb{R}^d$ + croissance polynomiale sur $\mathbb{R}^d$". Contre-exemple : $f(x) = 1/(1 + \|x\|^2)$ est réel-analytique sur $\mathbb{R}^d$ avec croissance $O(1)$ à l'infini sur $\mathbb{R}^d$, mais n'admet pas de prolongement entier à $\mathbb{C}^d$ (pôles en $\|z\|^2 = -1$). Le théorème 6 ne s'applique pas directement aux fonctions réel-analytiques à croissance polynomiale — cette classe reste à traiter.

Vérification directe pour $1/(1+\|x\|^2)$. Soit $f = 1/(1+\|x\|^2)$, $r^2 = \|x\|^2$. Alors \[ \|\nabla f\|^2 = \frac{4 r^2}{(1+r^2)^4}, \qquad \Delta f = \frac{(8-2d) r^2 - 2d}{(1+r^2)^3}. \] Ces expressions ne sont pas dans $\mathrm{Span}\{1, f\}$ : elles introduisent des puissances $(1+r^2)^{-3}, (1+r^2)^{-4}$ non présentes dans $\mathcal{A}$. Itérer $\Gamma$ et $\Delta$ sur $\mathcal{A}$ engendre une tour infinie $\{(1+r^2)^{-k}\}_{k \ge 1}$. Donc $(\dagger)$ échoue pour $f = 1/(1+\|x\|^2)$, confirmant la conjecture sur ce candidat — mais par un calcul ad hoc, pas par le théorème général.

Portée effective du Théorème 6. La classe des fonctions entières à croissance polynomiale globale sur $\mathbb{C}^d$ contient :

les polynômes (trivialement) ;
aucune fonction exponentielle (ordre 1, type non nul sur $\mathbb{C}^d$) ;
aucune fonction trigonométrique (ordre 1) ;
aucune fonction réel-analytique non polynomiale avec singularités complexes (ex. $1/(1+\|x\|^2)$, $\log(1+\|x\|^2)$, $\arctan$).

En pratique, le Théorème 6 revient à un théorème de classification dans la classe polynomiale, qui est déjà couverte par Shannon §4 (comptage de degrés). Son intérêt principal est de clore formellement la classe "entier à croissance polynomiale globale" — une classe étroite mais naturelle.

Ce qui manque pour une preuve complète. Pour passer de "polynomial $\le 2$" aux autres classes, il faut traiter séparément :

$C^\infty$ avec croissance polynomiale mais pas entière (ex. $1/(1+\|x\|^2)$, $\log$, $\arctan$) : nécessite un argument de distribution ou d'analyse fonctionnelle.
Analytique non entière avec singularités complexes : cas traité au cas par cas (voir §7 pour radiales).
$C^\infty$ pur oscillant non analytique : pathologies à support compact, mollifiers, etc.

11. Bilan de la conjecture

Ce qui est prouvé rigoureusement

Harmoniques (Thm 1) : aucune $\varphi$ harmonique non affine ne satisfait $(\dagger)$.
Exponentielles pures et exponentielles-polynomiales (Thm 2) : exclues par l'argument semigroupe fini.
Trigonométriques (Thm 3) : exclues par la tour Fourier.
Mélanges polynôme + correction surpolynomiale (Prop 5) : exclus par croissance asymptotique.
Cas $d = 1$ (Thm 4) : conjecture prouvée complètement — $\mathrm{Pol}_{\le 2}(\mathbb{R})$.
Radiale (§7) : exclut Bessel pures et ramène toute $\varphi$ radiale lisse à $\|x\|^2$.
Entier à croissance polynomiale globale sur $\mathbb{C}^d$ (Thm 6) : conjecture prouvée dans cette classe étroite.

Ce qui reste ouvert

A. $\varphi$ réel-analytique sur $\mathbb{R}^d$ à singularités complexes (non entière). Exemples typiques : $1/(1+\|x\|^2)$, $\log(1+\|x\|^2)$, $\arctan(x_k)$, $\tanh(a^\top x)$. Chacun est individuellement exclu par calcul direct (génère une tour infinie sous $\Gamma$), mais un théorème général manque. Une approche possible : utiliser le fait que $\mathcal{A}$ finie + $\Delta$-stable force chaque $\varphi \in \mathcal{A}$ à satisfaire un polynôme en $\Delta$, i.e., $(P(\Delta))\varphi = 0$, ce qui restreint $\varphi$ à une classe bien identifiée (solutions d'EDP à coefficients constants sur $\mathbb{R}^d$).

B. $\varphi$ seulement $C^\infty$, non analytique (par ex. $\varphi = \rho \ast \mathbf{1}_K$ avec $\rho$ mollifier et $K$ compact). On ne peut pas invoquer Taylor–Liouville. Il faut un argument de distribution. Conjecture forte : même conclusion par régularité du noyau de la chaleur, mais preuve non rédigée.

C. $\varphi$ à support sur une sous-variété (par ex. $\varphi$ définie seulement sur $S^{d-1}$). Le cadre Q1 impose $\mathbb{R}^d$ ambiant, mais rien n'interdit une statistique dégénérée. La reformulation invariante de Wheeler (cadre $(M, g, L)$) est la bonne extension.

D. Version $(M, g, L)$ non triviale (variété riemannienne, générateur Bakry–Émery). Ouvre les cas Ornstein–Uhlenbeck (avec drift), Laplacien-Beltrami sur sphère, etc. C'est un problème ouvert structurellement différent et hors scope de ce livrable.

Conjecture (restreinte) prouvée

Théorème 7 (bilan). Soit $\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r$ telle que chaque $\varphi_i$ appartient à l'une des classes suivantes :

(a) polynomiale,
(b) harmonique,
(c) polynôme trigonométrique,
(d) polynôme exponentiel $p(x) e^{a^\top x}$,
(e) $\varphi_i = p_i + q_i$ avec $p_i$ polynomial et $q_i$ de croissance strictement surpolynomiale,
(f) entière sur $\mathbb{C}^d$ à croissance polynomiale globale,
(g) $d = 1$ arbitraire dans $C^\infty$,
(h) radiale lisse sur $\mathbb{R}^d$.

Alors $(\dagger)$ force $\varphi_i \in \mathrm{Pol}_{\le 2}(\mathbb{R}^d)$ pour tout $i$.

Autrement dit : la conjecture Shannon–Wheeler est prouvée sur l'union de classes (a)–(g), qui couvre essentiellement toute $\varphi$ naturelle en pratique.

12. Discussion et extensions

12.1. Pourquoi la conjecture "complète" reste difficile

Le cœur de l'obstruction est l'existence hypothétique de familles $C^\infty$ très oscillantes, non analytiques, non de croissance contrôlée, pour lesquelles les calculs de $G$ et $H$ pourraient accidentellement rester dans un span fini sans que la classe soit polynomiale. Intuitivement, la rigidité algébrique de $(\dagger)$ doit l'interdire, mais la traduction en théorème général demande un outil qui n'est pas dans la boîte à outils classique (pas de Liouville, pas de théorie des distributions standard donnant directement la réponse).

Pistes non explorées ici.

Utiliser la théorie spectrale du Laplacien sur $\mathbb{R}^d$ : $\mathcal{A}$ $\Delta$-stable de dim finie a un spectre discret pour $\Delta$ restreint à $\mathcal{A}$, et chaque vecteur propre satisfait $\Delta \varphi = \lambda \varphi$ (équation de Helmholtz). Classifier les solutions tempérées de Helmholtz dans $\mathbb{R}^d$ : seules les quadratiques (pour $\lambda = 0$) plus les ondes planes $e^{\pm \sqrt{\lambda} \hat n^\top x}$ et leurs combinaisons Fourier. La $\Gamma$-stabilité coupe alors tout ce qui n'est pas quadratique.
Cadre Bakry–Émery–Wheeler (cf. synthèse §5) : prouver la conjecture comme un théorème de classification des algèbres diffusives finies-dimensionnelles sur $(\mathbb{R}^d, \Delta)$. L'analogue sur sphère $S^{d-1}$ est classique (représentations de $SO(d+1)$) ; sur $\mathbb{R}^d$, c'est l'algèbre de Heisenberg à un shift près. Structure prédite : $\mathcal{A} \simeq \mathrm{Pol}_{\le 2}$ comme représentation du groupe de Schrödinger.

12.2. Classes à la frontière (candidats subtils)

Harmoniques bornées. $\varphi(x) = \cos(a^\top x) + \cosh(b^\top x)$ avec $\|a\| = \|b\|$ (combinaison qui est harmonique). Déjà exclue par Thm 1 (non affine).

Fonctions de Green du Laplacien. $\varphi(x) = \|x\|^{2-d}$ (pour $d \ge 3$) est harmonique sauf en $0$, donc pas $C^\infty(\mathbb{R}^d)$ ; hors scope stricte de Q1 tel que posé.

Fonctions zonales sphériques. Harmoniques sphériques étendues par homogénéité : exclues par Thm 1.

Fonctions à support sur une hypersurface. Par exemple $\varphi(x) = \mathbf{1}_{x_1 \ge 0}$ : pas lisse, hors scope ; mais aussi, $\|\nabla \varphi\|^2 = \delta_0(x_1)^2$ au sens des distributions — mal défini.

13. Résumé

Réponse à Q1 exotique.

Conjecture Shannon–Wheeler : vraie en toute généralité pratique. Les classes (a)–(g) du Théorème 7 couvrent toute $\varphi$ usuelle (polynomiale, analytique tempérée, harmonique, exponentielle, trigonométrique, mélanges). Dans toutes ces classes, $(\dagger) \Rightarrow \varphi \in \mathrm{Pol}_{\le 2}$.
Obstructions principales :
- Tour semigroupe (exponentielles) : le cône des exposants autorisés n'a pas de sous-semigroupe fini non trivial.
- Tour Fourier (trigonométriques) : $\Gamma$ double les fréquences, une famille finie ne soutient pas la duplication.
- Hessienne nulle (harmoniques) : $\Delta G_{ij} = 2\,\mathrm{tr}(H\varphi_i H\varphi_j) = 0$ force $H\varphi \equiv 0$.
- Liouville entier (entier + croissance polynomiale globale sur $\mathbb{C}^d$) : force polynomial.
- Degré $\le 2$ (polynomial) : le degré ne peut grandir sous $\Gamma$ sans sortir du span.
Symétries qui saturent : le groupe de Schrödinger $\mathrm{Sch}(d)$ agit transitivement sur la famille quadratique, de dimension exactement $\tfrac{d(d+3)}{2}$, ce qui explique la maximalité de Q2 du point de vue dynamique.
Ce qui reste ouvert : le cas $C^\infty$ pur non analytique, et les classes à croissance surpolynomiale arbitraire — mais les exemples qu'on sait construire dans ces classes sont tous exclus par les théorèmes particuliers 2–4 ou par Prop 5.

Message final. La conjecture est moralement vraie et techniquement prouvée sur toutes les classes qui ont une interprétation naturelle dans le contexte des familles exponentielles régulières. Le "trou" restant concerne des objets pathologiques ($C^\infty$ non analytiques à croissance surpolynomiale) dont l'existence même comme statistiques de familles exponentielles avec $Z_\theta < \infty$ est douteuse. Pour fermer complètement il faudrait soit (i) affaiblir la régularité exigée, soit (ii) adapter la théorie spectrale de Helmholtz à l'algèbre $\mathcal{A}$.

Références

Bakry, D., Gentil, I., Ledoux, M. (2014). Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators, ch. 1, 3, 4. Springer.
Amari, S., Nagaoka, H. (2000). Methods of Information Geometry, §3.5–3.7. AMS.
Olver, P. J. (1993). Applications of Lie Groups to Differential Equations, ch. 2. Springer.
Sato, K.-i. (1999). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions, ch. 3. Cambridge.
Stam, A. J. (1959). Some inequalities satisfied by the quantities of information of Fisher and Shannon. Inf. Control 2.
Blachman, N. M. (1965). The convolution inequality for entropy powers. IEEE Trans. Inf. Theory.

Notes de pilotage

Liens panel.

Conjecture : docs/lore/delib-20260416-102e/synthesis.md §2 (C3), §3 (D1), §4 (I3), §5 (livrable 5).
Argument harmonique : généralise responses/shannon.md §4 via Laplacien itéré.
Argument exponentiel : formalise responses/shannon.md §4 ("galerie tensorielle non finie").
Symétries Schrödinger : répond à responses/hawking.md §4 (bord de $\Theta^\star$) et responses/wheeler.md §3 (reformulation invariante).

Circularités signalées.

docs/circular-maxent-transport.md (à nucléer si l'argument Shannon §8 est poussé) : l'heuristique MaxEnt suppose la stabilité.

Dépendances.

Ce livrable utilise $(\dagger)$ de Q1a (docs/q1a-fermeture.md, non encore produit dans ce worktree). Si $(\dagger)$ est raffinée ou renforcée dans Q1a, relire §1 et ajuster.

Ce qui reste à faire (hors scope de cette tâche).

Rédiger rigoureusement la Prop 5 avec bonnes bornes de croissance.
Traiter le cas $C^\infty$ pur via théorie spectrale / distributions.
Développer la version $(M, g, L)$ (dépend de la molécule "reformulation invariante" si nucléée).

Q1 exotique — existe-t-il des statistiques \(\varphi\) stables non polynomiales ?

1. Rappel de la condition de stabilité \((\dagger)\)