Cœur algébrique de Q1. Enfant de delib-20260416-102e.
Bloquant pour Q1c + Q3 (task-20260416-cb62). Complémentaire
de Q2 (task-20260416-8329).
On prouve la Proposition \((\dagger)\) : la famille exponentielle \(\{p_\theta \propto e^{-\theta^\top\varphi}\}\) est stable par convolution gaussienne si et seulement si les fonctions \(G_{ij} := \langle\nabla\varphi_i,\nabla\varphi_j\rangle\) et \(H_i := \Delta\varphi_i\) appartiennent, comme fonctions de \(x\), au sous-espace affine \(\mathcal{A} := \mathrm{Span}\{\varphi_1,\ldots,\varphi_r\} \oplus \mathbb{R}\cdot 1\), et ce uniformément en \(\theta\). L'hypothèse technique est la minimalité de la famille, c'est-à-dire l'indépendance linéaire de \(\{\varphi_1,\ldots,\varphi_r,1\}\) comme fonctions de \(x\). Dans le cas polynomial, \((\dagger)\) force \(\deg \varphi_i \le 2\) pour tout \(i\) — toute famille polynomiale stable est donc au plus quadratique. La classification des bases quadratiques saturées est décrite au §5.
On reprend le cadre de problem.md. Soit \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r\)
mesurable, \(\varphi \in C^2\) au
moins, et \[
p_\theta(x) = Z_\theta^{-1}\,e^{-\theta^\top\varphi(x)}, \qquad
Z_\theta = \int_{\mathbb{R}^d} e^{-\theta^\top\varphi(x)}\,dx <
\infty,
\qquad \theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}^r.
\] On suppose \(\Theta\) ouvert
non vide (cf. Q1b pour la question d'intégrabilité). On pose \[
V := \mathrm{Span}\{\varphi_1,\ldots,\varphi_r\} \subset
C^2(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}),
\qquad
\mathcal{A} := V \oplus \mathbb{R}\cdot 1,
\] et, pour \(f \in
C^2(\mathbb{R}^d,\mathbb{R})\), l'opérateur non linéaire
de Cole–Hopf \[
\mathcal{L} f := \tfrac{1}{2}\|\nabla f\|^2 - \tfrac{1}{2}\Delta f.
\tag{CH}
\]
Hypothèse (M) — minimalité. Les fonctions \(\{\varphi_1,\ldots,\varphi_r, 1\}\) sont linéairement indépendantes comme fonctions de \(x \in \mathbb{R}^d\).
Commentaire. C'est la condition de famille exponentielle minimale (Barndorff-Nielsen, Information and Exponential Families, 1978, §8 ; audit Feynman de Q3). Sans (M), l'identification des coefficients \(\alpha^{(ij)}_k\), \(\beta^{(ij)}_0\), \(\gamma^{(i)}_k\), \(\delta^{(i)}_0\) dans \((\dagger)\) n'est pas unique, et la reparamétrisation \(\theta \mapsto \tilde\theta\) n'est pas bien définie. Si (M) échoue, on se ramène à une sous-famille minimale en enlevant les redondances (ex. \(\mathrm{vec}(xx^\top)\) non symétrisé, cf. note I5 de la synthèse).
On note \(c(t) := \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t}\) la dérive logarithmique de la constante de normalisation le long d'un chemin \(t \mapsto \theta_t\).
Lemme 2.1 (Cole–Hopf). Soit \(u \in C^{2,1}(\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}_+)\) avec \(u > 0\). Pose \(f := -\log u\). Alors \[ \partial_t u = \tfrac{1}{2}\Delta u \quad\Longleftrightarrow\quad \partial_t f = -\mathcal{L} f. \tag{2.1} \]
Preuve. Les égalités \(u = e^{-f}\), \(\nabla u = -u\,\nabla f\) et \(\Delta u = u\bigl(\|\nabla f\|^2 - \Delta f\bigr)\) s'obtiennent par dérivation directe. Par ailleurs \(\partial_t u = -u\,\partial_t f\). L'équation de la chaleur \(\partial_t u = \tfrac{1}{2}\Delta u\) s'écrit donc \[ -u\,\partial_t f = \tfrac{1}{2} u\bigl(\|\nabla f\|^2 - \Delta f\bigr). \] En divisant par \(-u < 0\), on obtient \(\partial_t f = -\tfrac{1}{2}\|\nabla f\|^2 + \tfrac{1}{2}\Delta f = -\mathcal{L} f\). La réciproque est immédiate en remontant. \(\blacksquare\)
Convention de signe. On adopte \(\mathcal{L}f := \tfrac{1}{2}\|\nabla f\|^2 - \tfrac{1}{2}\Delta f\) conformément à la Remarque 2 de
problem.md. Le signe dans Lemme 2.1 donne alors \(\partial_t f = -\mathcal{L} f\) (type Hamilton–Jacobi avec terme de diffusion). La condition de fermeture \((\dagger)\) ci-dessous est insensible au signe, \(\mathcal{A}\) étant stable par multiplication scalaire.
Corollaire 2.2 (dictionnaire stabilité \(\leftrightarrow\) Hamilton–Jacobi). Supposons l'existence d'un chemin dérivable \(t \mapsto \theta_t \in \Theta\) avec \(\theta_0 = \theta\) tel que \(p_{\theta_t}(x) = (p_\theta \ast \gamma_{\sqrt{2t}})(x)\) pour tout \(t \ge 0\). Alors \[ \partial_t \bigl(\theta_t^\top\varphi\bigr)(x) \;=\; -\mathcal{L}\!\bigl(\theta_t^\top\varphi\bigr)(x) \;-\; c(t), \qquad \forall (x,t) \in \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}_+. \tag{$\ast$} \]
Preuve. Posons \(v_t(x) := p_{\theta_t}(x) = Z_{\theta_t}^{-1}\,e^{-\theta_t^\top\varphi(x)}\). Le noyau gaussien \(\gamma_{\sqrt{2t}}\) étant la solution fondamentale de la chaleur, \(v_t(x) = (p_\theta \ast \gamma_{\sqrt{2t}})(x)\) satisfait \(\partial_t v_t = \tfrac{1}{2}\Delta v_t\). Posons \(\tilde f_t(x) := -\log v_t(x) = \theta_t^\top\varphi(x) + \log Z_{\theta_t}\). Par Lemme 2.1, \(\partial_t \tilde f_t = -\mathcal{L} \tilde f_t\). Or \(\log Z_{\theta_t}\) ne dépend pas de \(x\), donc \(\nabla \tilde f_t = \nabla f_t\) (avec \(f_t := \theta_t^\top\varphi\)) et \(\mathcal{L}\tilde f_t = \mathcal{L}f_t\). D'autre part \(\partial_t \tilde f_t = \partial_t f_t + c(t)\). On en déduit \(\partial_t f_t + c(t) = -\mathcal{L} f_t\), ce qui est \((\ast)\). \(\blacksquare\)
Pour \(f = \theta^\top\varphi = \sum_i \theta_i \varphi_i\), on calcule : \[ \nabla f = \sum_i \theta_i \nabla\varphi_i, \qquad \|\nabla f\|^2 = \sum_{i,j} \theta_i\theta_j \,\langle\nabla\varphi_i,\nabla\varphi_j\rangle, \qquad \Delta f = \sum_i \theta_i\,\Delta\varphi_i. \] En introduisant \(G_{ij}(x) := \langle\nabla\varphi_i(x),\nabla\varphi_j(x)\rangle\) (symétrique en \(i,j\)) et \(H_i(x) := \Delta\varphi_i(x)\), on obtient la décomposition bilinéaire \[ \boxed{\;\mathcal{L}(\theta^\top\varphi)(x) \;=\; \tfrac{1}{2}\sum_{i,j=1}^r \theta_i\theta_j\, G_{ij}(x) \;-\; \tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^r \theta_i\, H_i(x).\;} \tag{3.1} \]
L'expression (3.1) est quadratique en \(\theta\), linéaire en les deux familles \(\{G_{ij}\}_{i\le j}\) et \(\{H_i\}_i\) vues comme fonctions de \(x\).
Proposition 4.1 \((\dagger)\). Sous l'hypothèse (M), la famille exponentielle \(\{p_\theta\}_{\theta \in \Theta}\) est stable par convolution gaussienne (au sens de Q1) si et seulement s'il existe des scalaires \(\alpha^{(ij)}_k, \beta^{(ij)}_0, \gamma^{(i)}_k, \delta^{(i)}_0 \in \mathbb{R}\) (\(1 \le i,j,k \le r\)), indépendants de \(\theta\) et de \(x\), tels que \[ G_{ij}(x) = \sum_{k=1}^r \alpha^{(ij)}_k\,\varphi_k(x) + \beta^{(ij)}_0, \qquad H_i(x) = \sum_{k=1}^r \gamma^{(i)}_k\,\varphi_k(x) + \delta^{(i)}_0, \qquad \forall x \in \mathbb{R}^d. \tag{$\dagger$} \]
Autrement dit, \((\dagger)\) dit \(G_{ij} \in \mathcal{A}\) et \(H_i \in \mathcal{A}\) uniformément — la famille \(V\) est fermée sous Cole–Hopf modulo constantes.
Avertissement circularité (Wheeler). L'énoncé standard de la Remarque 2 de
problem.mdpart de l'existence d'un chemin \(\theta_t\) pour déduire \((\dagger)\) ; or ce chemin suppose la stabilité. Ici on contourne la circularité en exigeant \((\dagger)\) comme identité polynomiale en \(\theta\) à coefficients fonction de \(x\), indépendamment de tout chemin. Voir la notecircular-q1a-stability-vs-closure.md.
Supposons \((\dagger)\). Injectant dans (3.1), \[ \mathcal{L}(\theta^\top\varphi)(x) \;=\; \tfrac{1}{2}\sum_{i,j}\theta_i\theta_j\!\left[\sum_k \alpha^{(ij)}_k \varphi_k(x) + \beta^{(ij)}_0\right] \;-\; \tfrac{1}{2}\sum_i \theta_i\!\left[\sum_k \gamma^{(i)}_k \varphi_k(x) + \delta^{(i)}_0\right]. \] En regroupant par \(\varphi_k\) et par \(1\) et changeant de signe pour correspondre à \(-\mathcal{L}\) dans \((\ast)\), on obtient \[ -\mathcal{L}(\theta^\top\varphi)(x) \;=\; \sum_{k=1}^r A_k(\theta)\,\varphi_k(x) \;+\; B(\theta), \tag{4.1} \] avec les coefficients polynomiaux en \(\theta\) : \[ A_k(\theta) = -\tfrac{1}{2}\sum_{i,j}\theta_i\theta_j\,\alpha^{(ij)}_k + \tfrac{1}{2}\sum_i \theta_i\,\gamma^{(i)}_k, \quad B(\theta) = -\tfrac{1}{2}\sum_{i,j}\theta_i\theta_j\,\beta^{(ij)}_0 + \tfrac{1}{2}\sum_i \theta_i\,\delta^{(i)}_0. \] Ces \(A_k\) sont des polynômes de degré \(2\) en \(\theta\) ; \(B\) aussi.
Construction du chemin \(\theta_t\). L'équation \((\ast)\) du Cor. 2.2 dit \(\partial_t(\theta_t^\top\varphi) = -\mathcal{L}(\theta_t^\top\varphi) - c(t)\). Le membre gauche est \(\sum_k \dot\theta_{t,k}\,\varphi_k(x)\). Le membre droit, par (4.1), est \(\sum_k A_k(\theta_t)\,\varphi_k(x) + B(\theta_t) - c(t)\). En projetant sur la base \(\{\varphi_1,\ldots,\varphi_r,1\}\) (ce qui est licite par (M)), on obtient le système fini : \[ \dot\theta_{t,k} = A_k(\theta_t), \qquad 1 \le k \le r, \tag{4.2} \] \[ c(t) = B(\theta_t). \tag{4.3} \] (4.2) est une EDO autonome sur \(\mathbb{R}^r\) à champ de vecteurs polynomial (donc localement lipschitzien) : par Cauchy–Lipschitz, pour \(\theta_0 = \theta \in \Theta\) il existe une unique solution \(t \mapsto \theta_t\) sur un intervalle maximal \([0, T^\star)\) avec \(\theta_t \in \mathbb{R}^r\). Sa permanence dans \(\Theta\) sur tout l'intervalle \(t \in [0, \sigma^2/2]\) d'intérêt est une question d'intégrabilité renvoyée à Q1b. (4.3) détermine alors \(\log Z_{\theta_t}\) par intégration : \(\log Z_{\theta_t} = \log Z_\theta + \int_0^t B(\theta_s)\,ds\).
Reconstruction de \(\tilde p_\theta\). Posons \(f_t(x) := \theta_t^\top \varphi(x)\) et \(u_t(x) := Z_{\theta_t}\,e^{-f_t(x)}\). Par (4.2)–(4.3), \(f_t\) satisfait \((\ast)\) (par construction). Par Lemme 2.1, \(u_t\) satisfait la chaleur. Comme \(u_0 = Z_\theta\,e^{-\theta^\top\varphi} = Z_\theta\,p_\theta\) et que la solution de la chaleur avec donnée initiale intégrable est unique dans la classe des fonctions à croissance sous-gaussienne (Tychonoff ; ce point est pris en charge par Q1b), on a \(u_t(x) = Z_\theta\,(p_\theta \ast \gamma_{\sqrt{2t}})(x)\). D'où \(p_{\theta_t} = Z_{\theta_t}^{-1} u_t = \tfrac{Z_\theta}{Z_{\theta_t}} (p_\theta \ast \gamma_{\sqrt{2t}})\). L'intégrale des deux membres étant \(1\), on conclut \(p_{\theta_t} = p_\theta \ast \gamma_{\sqrt{2t}}\).
La stabilité au sens de Q1 est donc prouvée avec \(\tilde\theta = \theta_t\) pour \(t = \sigma^2/2\). \(\square\)
Supposons la famille \(\{p_\theta\}\) stable. Pour \(\theta \in \Theta\) fixé, il existe donc un chemin \(C^1\) \(t \mapsto \theta_t \in \Theta\) avec \(\theta_0 = \theta\) et \(p_{\theta_t} = p_\theta \ast \gamma_{\sqrt{2t}}\) pour tout \(t \ge 0\) petit. (Cette hypothèse de régularité \(C^1\) du chemin est la portion Q1c/régularité du briefing — ici on l'admet ; cf. audit Feynman de Q3 pour l'hypothèse explicite de stabilité régulière.)
Par le Cor. 2.2, \(f_t := \theta_t^\top\varphi\) satisfait \((\ast)\). Évaluant en \(t = 0\) : \[ \dot\theta_0^\top\,\varphi(x) + c(0) \;=\; -\mathcal{L}(\theta^\top\varphi)(x), \qquad \forall x \in \mathbb{R}^d. \tag{4.4} \] Injectant la décomposition (3.1) pour le membre droit : \[ \dot\theta_0^\top\,\varphi(x) + c(0) \;=\; -\tfrac{1}{2}\sum_{i,j}\theta_i\theta_j\, G_{ij}(x) \;+\; \tfrac{1}{2}\sum_i \theta_i\, H_i(x). \tag{4.5} \]
L'identité (4.5) doit tenir pour tout \(\theta \in \Theta\) (et pour chaque \(\theta\), le chemin \(\theta_t\) et la dérivée initiale \(\dot\theta_0\) dépendent de \(\theta\)). Réécrivons : pour chaque \(\theta\), le membre gauche \(\dot\theta_0(\theta)^\top\varphi(x) + c(0)(\theta)\) est une fonction de \(x\) dans \(\mathcal{A}\) (combinaison linéaire de \(\varphi_1,\ldots,\varphi_r,1\)). Donc le membre droit aussi : \[ -\tfrac{1}{2}\sum_{i,j}\theta_i\theta_j\, G_{ij}(x) + \tfrac{1}{2}\sum_i \theta_i\, H_i(x) \;\in\; \mathcal{A} \qquad \forall \theta \in \Theta, \forall x. \tag{4.6} \]
Identification coefficient par coefficient. Comme \(\Theta\) est ouvert, on peut développer (4.6) comme polynôme en \(\theta\) à coefficients fonctions de \(x\). Deux polynômes de \(\theta\) qui coïncident sur un ouvert sont égaux — en particulier, pour chaque monôme \(\theta_i\theta_j\) (resp. \(\theta_i\)), sa contribution à (4.6) doit appartenir à \(\mathcal{A}\) séparément. C'est le point clef.
Argument précis. Soit \(\theta^{(0)} \in \Theta\) et \(\delta \in \mathbb{R}^r\) suffisamment petit pour que \(\theta^{(0)} + \varepsilon\delta \in \Theta\) pour \(|\varepsilon|\) petit. Comme (4.6) vaut pour \(\theta = \theta^{(0)} + \varepsilon\delta\), le membre de gauche de (4.6) (vu dans l'espace quotient \(C(\mathbb{R}^d)/\mathcal{A}\)) est nul pour tout \(\varepsilon\) petit. Mais c'est un polynôme de degré \(2\) en \(\varepsilon\) ; ses trois coefficients (en \(\varepsilon^0, \varepsilon^1, \varepsilon^2\)) sont donc nuls dans \(C(\mathbb{R}^d)/\mathcal{A}\). Cela donne :
Le degré 2 dit (en absorbant le scalaire \(-\tfrac{1}{2}\), \(\mathcal{A}\) étant un sous-espace linéaire) : \(\sum_{i,j}\delta_i\delta_j G_{ij} \in \mathcal{A}\) pour tout \(\delta \in \mathbb{R}^r\). En choisissant \(\delta = e_i\) (vecteur canonique), on obtient \(G_{ii} \in \mathcal{A}\). Puis \(\delta = e_i + e_j\) donne \(G_{ii} + 2G_{ij} + G_{jj} \in \mathcal{A}\) ; soustrayant, \(G_{ij} \in \mathcal{A}\) pour tout \(i,j\). Enfin, reprenant le degré 1 avec \(\theta^{(0)}\) quelconque et \(G_{ij} \in \mathcal{A}\), on obtient \(\sum_i \delta_i H_i \in \mathcal{A}\) pour tout \(\delta\), donc \(H_i \in \mathcal{A}\) pour tout \(i\).
Par (M), la décomposition de chaque \(G_{ij}, H_i\) sur la base \((\varphi_1,\ldots,\varphi_r,1)\) est unique, ce qui donne les scalaires \(\alpha^{(ij)}_k, \beta^{(ij)}_0, \gamma^{(i)}_k, \delta^{(i)}_0\) de \((\dagger)\). \(\square\)
Remarque. L'implication \(\Rightarrow\) utilise deux hypothèses de régularité non triviales : (a) le chemin \(\theta_t\) est \(C^1\), donc \(\dot\theta_0\) existe ; (b) l'ensemble \(\Theta\) est ouvert. Ces deux conditions sont précisément ce que Feynman appelle la stabilité régulière (audit Q3). Sans elles, on peut avoir stabilité Q1 ponctuelle sans avoir \((\dagger)\) ; la réciproque est alors strictement plus forte et relève de Q1c.
Théorème 5.1 (borne de degré). Supposons l'hypothèse (M) et que chaque \(\varphi_i\) est une fonction polynomiale de \(x\), de degré \(d_i := \deg\varphi_i \in \mathbb{N}\). Soit \(D := \max_i d_i\). Si la famille \(\{p_\theta\}\) est stable au sens de Q1, alors \(D \le 2\).
Preuve. Par Prop. 4.1, \((\dagger)\) vaut. En particulier, pour tout \(i,j\), \(G_{ij} \in \mathcal{A}\), donc \(\deg G_{ij} \le D\) (puisque tout élément de \(\mathcal{A}\) est combinaison linéaire d'éléments de degré \(\le D\)). D'autre part, \(G_{ij}(x) = \langle\nabla\varphi_i(x), \nabla\varphi_j(x)\rangle\) est une somme de produits \(\partial_k \varphi_i(x)\,\partial_k\varphi_j(x)\) ; comme \(\deg(\partial_k \varphi_i) \le d_i - 1\), on a en général \[ \deg G_{ij} \le d_i + d_j - 2, \] avec égalité dès que \(\varphi_i\) et \(\varphi_j\) ont un terme de plus haut degré non orthogonal (voir Remarque 5.2 ci-dessous).
Choisissons \(i = j = \arg\max_k d_k\), et supposons que \(\varphi_i\) est un polynôme de degré exactement \(D\) avec terme principal \(p_D(x)\). Alors \(G_{ii}(x) = \|\nabla\varphi_i(x)\|^2\) a pour terme principal \(\|\nabla p_D(x)\|^2\), qui est homogène de degré \(2(D-1) = 2D-2\) et non identiquement nul (car \(p_D\) est non constant : un polynôme homogène non nul a un gradient non identiquement nul). Donc \(\deg G_{ii} = 2D - 2\).
La condition \((\dagger)\) impose \(2D - 2 \le D\), d'où \(D \le 2\). \(\blacksquare\)
Remarque 5.2 (pourquoi le terme principal ne s'annule pas). On a utilisé implicitement : si \(p\) est un polynôme homogène non constant, \(\|\nabla p\|^2\) est un polynôme non identiquement nul. Preuve : \(\|\nabla p\|^2 = 0\) identiquement implique \(\nabla p \equiv 0\), donc \(p\) constant. L'hypothèse (M) exige que \(\varphi_i\) ne soit pas constant (sinon \(\varphi_i \in \mathbb{R}\cdot 1\), contradiction avec l'indépendance linéaire avec \(1\)).
Corollaire 5.3 (borne d'Euler). Sous les hypothèses de Thm 5.1, si \(\varphi_i\) est de degré \(d_i \ge 2\), alors \(d_i = 2\) et la partie homogène de degré \(2\) de \(\varphi_i\) est une forme quadratique. (Immédiat par \(D \le 2\).)
Cadre. Sous (M) et la conclusion de Thm 5.1, chaque \(\varphi_i\) est de degré \(\le 2\). Écrivons la décomposition canonique \[ \varphi_i(x) \;=\; x^\top A_i\, x \;+\; b_i^\top x \;+\; c_i, \qquad A_i \in \mathrm{Sym}_d(\mathbb{R}),\; b_i \in \mathbb{R}^d,\; c_i \in \mathbb{R}. \] Quitte à soustraire une constante et renormaliser, on peut supposer \(c_i = 0\) (absorbé dans \(\log Z_\theta\)).
L'espace ambiant maximal pour des \(\varphi\) quadratiques est \[ \mathcal{Q} := \mathrm{Span}\{x_i x_j : 1 \le i \le j \le d\} \oplus \mathrm{Span}\{x_i : 1 \le i \le d\}, \] de dimension \(\dim \mathcal{Q} = \binom{d+1}{2} + d = \tfrac{d(d+1)}{2} + d = \tfrac{d(d+3)}{2}\).
Théorème 5.4 (fermeture saturée). Sous (M), une famille polynomiale \(\varphi = (\varphi_1,\ldots,\varphi_r)\) satisfait \((\dagger)\) saturément (au sens : tous les \(G_{ij}\) et \(H_i\) engendrent \(\mathcal{A}\) modulo linéarités) si et seulement si \(V := \mathrm{Span}\{\varphi_1,\ldots,\varphi_r\} = \mathcal{Q}\), i.e. la famille contient une base linéaire de \(\mathcal{Q}\).
Esquisse. \((\Leftarrow)\) : si \(V = \mathcal{Q}\), on vérifie que \(G_{ij} \in \mathcal{Q} \oplus \mathbb{R} = \mathcal{A}\) et \(H_i \in \mathbb{R} \subset \mathcal{A}\) par calcul direct : \(\nabla(x^\top A\,x + b^\top x) = 2Ax + b\), donc \(G_{ij}(x) = (2A_i x + b_i)^\top(2A_j x + b_j)\), quadratique en \(x\) ; et \(\Delta(x^\top A x + b^\top x) = 2\mathrm{tr}(A) = \mathrm{cste}\). \((\Rightarrow)\) : si \(V \subsetneq \mathcal{Q}\) mais saturant \((\dagger)\), par clôture il faut que tous les \(G_{ij}\) (qui engendrent génériquement \(\mathcal{Q}\) en variant \(A_i\)) soient dans \(V \oplus \mathbb{R}\), ce qui impose \(V \supseteq\) à l'enveloppe des produits \((2A_ix+b_i)^\top(2A_jx+b_j)\) ; pour des \(A_i, b_i\) génériques, cette enveloppe est \(\mathcal{Q}\) entier. \(\blacksquare\)
Sous-familles strictes (exemples). Voici plusieurs familles \(V \subsetneq \mathcal{Q}\) qui satisfont néanmoins \((\dagger)\) — toutes liées à des classes de diffusions conjuguées au mouvement brownien :
| Nom | \(V\) | Dim | Reparamétrisation |
|---|---|---|---|
| Gaussienne générale | \(\mathcal{Q}\) entier | \(\tfrac{d(d+3)}{2}\) | \(\tilde S = S(I+2\sigma^2 S)^{-1}\), \(\tilde h = (I+2\sigma^2 S)^{-1} h\) (Q2) |
| Gaussienne centrée | \(\mathrm{Span}\{x_i x_j\}\) | \(\tfrac{d(d+1)}{2}\) | \(\tilde S = S(I+2\sigma^2 S)^{-1}\) (pas de \(h\)) |
| Isotropique | \(\mathrm{Span}\{|x|^2, x_1,\ldots,x_d\}\) | \(d+1\) | \(\tilde s = s/(1+2\sigma^2 s)\), \(\tilde h = h/(1+2\sigma^2 s)\) |
| Isotropique centrée | \(\mathrm{Span}\{|x|^2\}\) | \(1\) | \(\tilde s = s/(1+2\sigma^2 s)\) |
| Pur linéaire (translation) | \(\mathrm{Span}\{x_1,\ldots,x_d\}\) | \(d\) | \(\tilde h = h\) (trivial — \(\Sigma\) fixe) |
Vérification rapide pour la famille isotropique. Posons \(\varphi_0(x) = \|x\|^2\) et \(\varphi_k(x) = x_k\) pour \(k = 1,\ldots,d\). Alors
Toutes dans \(\mathcal{A}\) : \((\dagger)\) est satisfait. La famille est donc stable, avec \(r = d+1\).
Remarque (classes dégénérées). \(V = \{0\}\) (pas de statistique) donne la mesure de Lebesgue, qui est triviallement stable. \(V = \mathrm{Span}\{1\}\) est exclu par (M) (dépendance linéaire avec \(1\)). \(V = \mathrm{Span}\{x_i\}\) seul correspond à des exponentielles non normalisables sur \(\mathbb{R}^d\) — le domaine \(\Theta\) est vide, problème renvoyé à Q1b.
Les sous-familles ci-dessus sont classifiables à action affine près. Si \(\varphi\) est stable et \(\psi(x) := \varphi(Rx + a)\) pour \(R \in O(d)\) et \(a \in \mathbb{R}^d\), alors \(\psi\) est aussi stable (la convolution gaussienne isotrope commute avec les rotations et les translations). Plus précisément, la structure de \(V\) est invariante sous le groupe \(\mathrm{Aff}(d) \rtimes O(d)\) (conformément à la conjecture Wheeler §4 de la synthèse : modulo reparamétrisation affine + \(O(d)\), les \(\varphi\) stables polynomiales sont enveloppe affine de \(\mathcal{Q}\)).
Ce qui est prouvé ici (Q1a) :
Ce qui reste ouvert (renvoyé à d'autres tâches) :
task-20260416-cb62.task-20260416-0f96.docs/lore/delib-20260416-102e/{synthesis.md,responses/von-neumann.md,responses/wheeler.md,responses/feynman.md}.