Tâche. Versant analytique de Q1 : caractériser le domaine admissible \(\Theta^\star = \{\theta : Z_\theta < \infty\}\) en fonction de la croissance de \(\varphi\), prouver rigoureusement que \(\varphi(x) = x^4\) sur \(\mathbb{R}\) n'est pas stable par convolution gaussienne (contre-exemple explicite), généraliser aux polynômes de degré \(\ge 3\), et analyser les limites \(\sigma \to 0, \infty\) avec l'obstruction de non-surjectivité \(\theta \mapsto \tilde\theta\).
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delib-20260416-102e(synthèse). Références internes : Hawking §1, §2, §4 ; Shannon §4 ;docs/problem.md;docs/q1-exotique-nonpoly.md(condition \((\dagger)\)).Notation. On note \[ \mathcal{L}(f) := \tfrac{1}{2}\|\nabla f\|^2 - \tfrac{1}{2}\Delta f, \qquad \mathcal{A} := \mathrm{Span}\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, 1\} \subset C^\infty(\mathbb{R}^d). \] La condition de stabilité \((\dagger)\) s'écrit : \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi) \in \mathcal{A}\) uniformément en \(\theta \in \Theta^\star\).
Pour \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r\) mesurable, on définit \[ \Theta^\star \;:=\; \bigl\{\theta \in \mathbb{R}^r \,:\, Z_\theta := \textstyle\int_{\mathbb{R}^d} e^{-\theta^\top \varphi(x)}\,dx \,<\, \infty\bigr\}. \]
Proposition 1.1 (structure standard, Barndorff-Nielsen 1978, Brown 1986). \(\Theta^\star\) est un ensemble convexe de \(\mathbb{R}^r\), et \(\theta \mapsto \log Z_\theta\) est convexe sur \(\Theta^\star\) (strictement si \(\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, 1\}\) sont linéairement indépendantes comme fonctions de \(x\)). En particulier, \(\log Z_\theta\) est \(C^\infty\) sur \(\mathrm{int}(\Theta^\star)\).
Démonstration. Pour \(\theta_0, \theta_1 \in \Theta^\star\) et \(\lambda \in [0,1]\), l'inégalité de Hölder donne \[ Z_{(1-\lambda)\theta_0 + \lambda\theta_1} = \int e^{-(1-\lambda)\theta_0^\top\varphi}\, e^{-\lambda\theta_1^\top\varphi}\,dx \;\le\; Z_{\theta_0}^{1-\lambda} Z_{\theta_1}^{\lambda} < \infty, \] d'où la convexité de \(\Theta^\star\) et de \(\log Z_\theta\). La régularité \(C^\infty\) sur \(\mathrm{int}(\Theta^\star)\) suit de la domination et de la dérivation sous l'intégrale (les dérivées \(\partial^\alpha Z_\theta\) convergent localement uniformément). \(\square\)
Le critère élémentaire : \(e^{-\theta^\top\varphi(x)}\) est intégrable sur \(\mathbb{R}^d\) ssi \(\theta^\top \varphi(x) \to +\infty\) assez vite quand \(\|x\| \to \infty\).
Proposition 1.2 (intégrabilité sous croissance polynomiale). Soit \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r\) continue telle qu'il existe \(k > 0\) et \(c, C > 0\) avec, pour \(\|x\|\) grand, \[ c\, \|x\|^k \;\le\; \theta^\top \varphi(x) \;\le\; C\, \|x\|^k \quad (\text{composante par composante pour } \theta \in K). \] Alors \(\theta \in \Theta^\star\) et \(Z_\theta \le \tilde C\) uniformément sur tout compact \(K \subset \{\theta : c\,\|x\|^k \le \theta^\top\varphi(x)\}\).
Démonstration. Soit \(R > 0\) tel que \(\theta^\top \varphi(x) \ge c\|x\|^k\) pour \(\|x\| \ge R\). Alors \[ Z_\theta \le \int_{\|x\| \le R} 1\,dx + \int_{\|x\| \ge R} e^{-c\|x\|^k}\,dx \le V_d R^d + \omega_{d-1} \int_R^\infty r^{d-1} e^{-c r^k}\,dr < \infty, \] la dernière intégrale étant finie pour tout \(k > 0\) (Euler-Gamma). La borne est uniforme sur tout compact de \(\theta\). \(\square\)
(i) Quadratique. \(\varphi(x) = (\mathrm{vec}(xx^\top), x)\), \(\theta = (A/2, b)\). Alors \(\theta^\top\varphi(x) = \tfrac12 x^\top A x + b^\top x\), et \[ \Theta^\star = \{(A, b) : A \succ 0\}. \] Calcul explicite : \[ Z_\theta = (2\pi)^{d/2}\,(\det A)^{-1/2}\,\exp\!\bigl(\tfrac12 b^\top A^{-1} b\bigr), \qquad \theta \in \Theta^\star. \]
(ii) Quartique \(d=1\). \(\varphi(x) = x^4\). Alors \(\Theta^\star = \{\theta > 0\}\). Par changement de variable \(u = \theta^{1/4} x\) : \[ Z_\theta = \int_{\mathbb{R}} e^{-\theta x^4}\,dx = \theta^{-1/4} \int_{\mathbb{R}} e^{-u^4}\,du = \theta^{-1/4} \cdot 2\,\Gamma(5/4). \]
(iii) Logarithmique borné. \(\varphi(x) = \log(1+x^2)\) sur \(\mathbb{R}\). Alors \(\theta^\top\varphi(x) = \theta \log(1+x^2) \sim 2\theta \log|x|\), donc \(e^{-\theta^\top\varphi(x)} \sim |x|^{-2\theta}\). L'intégrale est finie ssi \(\theta > 1/2\), soit \(\Theta^\star = (1/2, \infty)\). Queues en loi de puissance, non intégrables à \(\theta\) bas.
Si \(\theta \in \Theta^\star\) mais \(\tilde\theta \notin \Theta^\star\), alors \(\tilde p_\theta\) ne peut pas s'écrire sous la forme \(Z_{\tilde\theta}^{-1} e^{-\tilde\theta^\top\varphi}\). La stabilité exige donc que le flot \(\theta \mapsto \tilde\theta(\sigma)\) préserve \(\Theta^\star\). Voir §5.2 (invariance du flot H-J).
On dégage trois régimes de \(\varphi\) qui brisent la stabilité par convolution gaussienne. Le critère unifiant est la condition \((\dagger)\) : \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi) \in \mathcal{A}\) uniformément en \(\theta\).
Proposition 2.1 (exclusion des \(\varphi\) sous-linéaires). Soit \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\) de classe \(C^2\) avec \(\varphi(x) = o(\|x\|)\) quand \(\|x\| \to \infty\). Alors la famille exponentielle \(p_\theta \propto e^{-\theta\varphi}\) n'est pas stable par \(\ast\gamma_\sigma\), sauf dégénérescences triviales.
Argument. Si \(\varphi = o(\|x\|)\), alors \(\|\nabla\varphi\| \to 0\) à l'infini (sous hypothèses classiques de régularité uniforme, p.ex. \(\varphi\) concave), tandis que \(\varphi \not\to 0\) (sinon \(\varphi\) est bornée, voir §2.3). La condition \((\dagger)\) exige \(\|\nabla\varphi\|^2 \in \mathcal{A} = \mathrm{Span}\{\varphi, 1\}\), soit \[ \|\nabla\varphi(x)\|^2 = a\,\varphi(x) + b \quad \forall x. \] Le membre de gauche \(\to 0\) à l'infini ; donc \(a = 0\) (sinon \(\varphi\) borné ou divergent) et \(b = 0\). Par intégration de \(\|\nabla\varphi\|^2 = 0\), \(\varphi\) est constante, dégénérescence.
Exemple. \(\varphi(x) = \log(1+x^2)\) : \(\varphi'(x) = 2x/(1+x^2)\), \((\varphi')^2 = 4x^2/(1+x^2)^2 \to 0\), \(\varphi''(x) = 2(1-x^2)/(1+x^2)^2 \to 0\). Donc \(\mathcal{L}(\theta\varphi) = \tfrac12\theta^2 \cdot 4x^2/(1+x^2)^2 - \tfrac12 \theta \cdot 2(1-x^2)/(1+x^2)^2 \to 0\) à l'infini, alors que \(\varphi \to \infty\). Aucune combinaison linéaire \(a\varphi + b\) ne représente \(\mathcal{L}(\theta\varphi)\) uniformément en \(\theta\). \(\square\)
Proposition 2.2 (exclusion des polynômes de degré \(\ge 3\)). Soit \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r\) dont les composantes sont des polynômes de degré \(\le K\) avec \(K \ge 3\), et supposons \(\mathcal{A}\) de dimension \(r+1\) (indépendance linéaire). Alors la condition \((\dagger)\) échoue.
Argument (développé §4). Notons \(\deg(f)\) le degré total. Pour \(f\) polynôme, \[ \deg(\|\nabla f\|^2) = 2(\deg f) - 2, \qquad \deg(\Delta f) = \deg f - 2. \] Si \(f = \theta^\top\varphi\) a degré \(K \ge 3\), alors \(\|\nabla f\|^2\) a degré \(2K-2 > K\). Mais \(\mathcal{A}\) ne contient que des polynômes de degré \(\le K\). Donc \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi)\) a une composante de degré \(2K-2\) hors de \(\mathcal{A}\), sauf si le coefficient de tête s'annule pour tout \(\theta\) — ce qui, pour \(\varphi\) quelconque de degré \(K\), n'a lieu que génériquement quand le coefficient dominant est dégénéré.
Le cas \(\varphi(x) = x^4\) (§3) rend cet argument explicite et concret.
Proposition 2.3 (exclusion des \(\varphi\) bornés non-dégénérés). Soit \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\) bornée, non constante. Soit \(\Theta^\star\) est l'ensemble tout entier (si \(\varphi\) est bornée, \(e^{-\theta\varphi} \in L^\infty\) mais pas \(L^1\) sur \(\mathbb{R}^d\) non borné), soit \(\Theta^\star = \emptyset\), sauf si \(d < \infty\) est remplacé par un support compact.
En particulier, pour \(\mathbb{R}^d\) non borné et \(\varphi\) continue bornée, \(\varphi(x) \not\to \infty\), donc \(e^{-\theta\varphi(x)}\) est minoré par \(e^{-\theta \sup \varphi} > 0\), et \(\int_{\mathbb{R}^d} \ge \infty\) : \(\Theta^\star = \emptyset\).
Cas compactifié. Sur un domaine borné \(D \subset \mathbb{R}^d\), l'intégrale est finie, mais la structure exponentielle rencontre alors un problème de bord : la convolution par \(\gamma_\sigma\) sort de \(D\). On abandonne le cadre.
Oscillant (ex. \(\varphi(x) = \cos x\)). Borné, donc exclu par l'argument précédent sur \(\mathbb{R}\). Sur le tore \(\mathbb{T}^d\), la chaleur préserve la famille, mais le cadre de Q1 est \(\mathbb{R}^d\) avec \(\gamma_\sigma\).
On prouve que la famille \(\{p_\theta \propto e^{-\theta x^4}\}_{\theta > 0}\) est non stable par convolution gaussienne.
Par (§1.3.ii), \(\Theta^\star = (0, \infty)\) et \(Z_\theta = 2\Gamma(5/4)\theta^{-1/4}\).
On a \(\varphi(x) = x^4\), \(\varphi'(x) = 4x^3\), \(\varphi''(x) = 12 x^2\). Pour \(f(x) = \theta \varphi(x) = \theta x^4\) : \[ \nabla f(x) = 4\theta x^3, \qquad \Delta f(x) = 12\theta x^2. \] Donc \[ \mathcal{L}(\theta x^4) = \tfrac{1}{2}(4\theta x^3)^2 - \tfrac{1}{2} \cdot 12\theta x^2 = 8\,\theta^2\, x^6 - 6\,\theta\, x^2. \tag{$\star$} \]
Lemme 3.1. Les fonctions \(1, x^4, x^6\) sur \(\mathbb{R}\) sont linéairement indépendantes.
Démonstration. Supposons \(a \cdot 1 + b \cdot x^4 + c \cdot x^6 = 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Évaluation en \(x=0\) donne \(a = 0\). Par unicité du polynôme nul, les coefficients \(b\) et \(c\) sont nuls. \(\square\)
Corollaire 3.2. \(x^6 \notin \mathrm{Span}\{1, x^4\}\).
La famille générée par \(\varphi = x^4\) a \(\mathcal{A} = \mathrm{Span}\{1, x^4\}\). L'identité \((\star)\) donne \[ \mathcal{L}(\theta x^4) = 8\theta^2 x^6 - 6\theta x^2. \] Pour que \(\mathcal{L}(\theta x^4) \in \mathcal{A}\), il faudrait \[ 8\theta^2 x^6 - 6\theta x^2 = \alpha(\theta) + \beta(\theta) x^4 \quad \forall x \in \mathbb{R}. \] Par identification des coefficients de \(x^6\), on obtient \(8\theta^2 = 0\), soit \(\theta = 0 \notin \Theta^\star\). Pour tout \(\theta > 0\), la condition \((\dagger)\) échoue.
Théorème 3.3. La famille exponentielle \(\{p_\theta(x) = Z_\theta^{-1} e^{-\theta x^4}\}_{\theta > 0}\) sur \(\mathbb{R}\) n'est pas stable par convolution gaussienne. Pour tout \(\sigma > 0\) et tout \(\theta \in \Theta^\star\), il n'existe aucun \(\tilde\theta \in \mathbb{R}\) tel que \(p_\theta \ast \gamma_\sigma \propto e^{-\tilde\theta x^4}\).
Démonstration (via Q3, cf. problem.md §3). Si la famille
était stable, il existerait un chemin \(t
\mapsto \theta_t\) avec \(\theta_0 =
\theta\) et \(p_{\theta_t} = p_\theta
\ast \gamma_{\sqrt{2t}}\) pour \(t =
\sigma^2/2\). Par dérivation de l'équation de la chaleur et
identification (équation (6) de problem.md), ce chemin
satisfait \[
\dot\theta_t \varphi(x) + \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t} =
-\mathcal{L}(\theta_t \varphi(x)) \quad \forall x, t,
\] soit, avec \(\varphi = x^4\)
et \((\star)\), \[
\dot\theta_t x^4 + \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t} = -8\theta_t^2 x^6 +
6\theta_t x^2.
\] Le LHS est dans \(\mathrm{Span}\{1,
x^4\}\), le RHS contient \(x^6\)
et \(x^2\). Par Lemme 3.1, égalité
impossible pour tout \(x\) sauf si les
coefficients de \(x^6\) et \(x^2\) du RHS s'annulent : \(8\theta_t^2 = 0\) et \(6\theta_t = 0\), i.e. \(\theta_t = 0 \notin \Theta^\star\).
Contradiction. \(\square\)
Lemme 4.1 (degrés sous \(\mathcal{L}\)). Soit \(f \in \mathbb{R}[x_1, \ldots, x_d]\) de degré total \(K\) et de partie homogène de tête \(f_K\) (non nulle). Alors \(\|\nabla f\|^2\) est un polynôme de degré exactement \(2K-2\) (sauf si \(\|\nabla f_K\|^2 \equiv 0\), ce qui équivaut à \(f_K\) constant — impossible pour \(K \ge 1\)). La partie homogène de tête de \(\|\nabla f\|^2\) est \(\|\nabla f_K\|^2\).
Démonstration. Écrire \(f = f_K + f_{<K}\) avec \(\deg(f_{<K}) < K\). Alors \(\nabla f = \nabla f_K + \nabla f_{<K}\) avec \(\deg(\nabla f_K) = K-1\) (homogène), \(\deg(\nabla f_{<K}) < K-1\). Donc \[ \|\nabla f\|^2 = \|\nabla f_K\|^2 + 2\langle\nabla f_K, \nabla f_{<K}\rangle + \|\nabla f_{<K}\|^2, \] et les termes croisés/bas sont de degré \(< 2K-2\). La partie homogène de tête est \(\|\nabla f_K\|^2\), de degré \(2K-2\), et non nulle car \(f_K \not\equiv\) constante (sinon \(f_K = 0\), contraire à l'hypothèse \(\deg f_K = K \ge 1\)). \(\square\)
Théorème 4.2 (exclusion des polynômes de degré \(\ge 3\)). Soit \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r\) polynomial, avec \(K := \max_i \deg(\varphi_i) \ge 3\). Supposons que \(\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, 1\}\) sont linéairement indépendantes (donc \(\dim \mathcal{A} = r+1\)). Alors la famille \(\{p_\theta = Z_\theta^{-1} e^{-\theta^\top\varphi}\}\) ne satisfait pas \((\dagger)\), et n'est donc pas stable par convolution gaussienne.
Démonstration. La condition \((\dagger)\) dit : \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi) \in \mathcal{A}\) pour tout \(\theta \in \Theta^\star\). Fixons \(\theta\) tel que \(\theta^\top\varphi\) ait degré total \(K\) (générique : prendre \(\theta\) telle que le coefficient homogène de tête \(\sum_i \theta_i \cdot [\varphi_i]_K\) soit non nul — possible puisque \(\{[\varphi_i]_K\}\) non simultanément nuls). Alors par Lemme 4.1, \(\|\nabla(\theta^\top\varphi)\|^2\) est polynôme de degré \(2K-2\). Par ailleurs \(\Delta(\theta^\top\varphi)\) est de degré \(K-2\). Donc \[ \mathcal{L}(\theta^\top\varphi) = \tfrac12 \|\nabla(\theta^\top\varphi)\|^2 - \tfrac12 \Delta(\theta^\top\varphi) \] est un polynôme de degré \(2K-2\), avec partie homogène de tête \(\tfrac12 \|\nabla([\theta^\top\varphi]_K)\|^2 \neq 0\). Or \(\mathcal{A}\) ne contient que des polynômes de degré \(\le K\), et \(2K-2 > K\) dès que \(K \ge 3\). Donc \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi) \notin \mathcal{A}\), contredisant \((\dagger)\). \(\square\)
Corollaire 4.3 (Q2 est le cas polynomial). Parmi les \(\varphi\) polynomiaux, les seules familles stables par \(\ast\gamma_\sigma\) pour tout \(\sigma > 0\) sont celles où \(\varphi\) est affine ou quadratique (i.e. \(K \le 2\)). Le cas \(\varphi(x) = (\mathrm{vec}(xx^\top), x)\) est maximal en dimension \(d^2 + d\).
Ce corollaire, conjugué aux résultats de
docs/q1-exotique-nonpoly.md (exclusion des exotiques
harmoniques, exponentielles, trigonométriques), constitue la
réduction de Q1 à Q2 modulo non-polynomial
pathologique.
Même dans le cas stable \(\varphi = (\mathrm{vec}(xx^\top), x)\) (Q2), l'étude des limites du paramètre de lissage \(\sigma\) révèle une obstruction géométrique importante.
Rappel (Q2, cf. synthesis §C3). Pour \(\varphi(x) = (\mathrm{vec}(xx^\top), x)\), \(\theta = (A/2, b)\) avec \(A \succ 0\), la reparamétrisation sous \(\ast \gamma_\sigma\) est \[ \tilde A = A(I + \sigma^2 A)^{-1}, \qquad \tilde b = (I + \sigma^2 A)^{-1} b. \] Équivalence en covariance : si \(\Sigma := A^{-1}\) (matrice de covariance), alors \[ \tilde\Sigma = \Sigma + \sigma^2 I, \qquad \tilde A = \tilde\Sigma^{-1} = (\Sigma + \sigma^2 I)^{-1}. \]
\(\tilde A \to A\), \(\tilde b \to b\) : identité. Le flot part bien de \(\theta_0 = \theta\).
\(\tilde A = (\Sigma + \sigma^2 I)^{-1} \to 0\) quand \(\sigma \to \infty\). Le flot \(\tilde A(\sigma)\) reste strictement dans \(\Theta^\star = \{A \succ 0\}\) pour tout \(\sigma < \infty\) (car \(\Sigma + \sigma^2 I \succ 0\)), mais atteint le bord \(\partial\Theta^\star = \{A \succeq 0, \det A = 0\}\) en temps infini.
Interprétation physique : la variance totale diverge, la densité aplatit, mais ne dégénère en masse de Dirac à l'infini qu'asymptotiquement.
Théorème 5.1 (chaleur lisse mais ne dé-lisse pas). Fixons \(\sigma > 0\). Dans le cas quadratique, l'image de la carte \(\theta = (A, b) \mapsto \tilde\theta = (\tilde A, \tilde b)\) est strictement plus petite que \(\Theta^\star\) : \[ \mathrm{Im}(\theta \mapsto \tilde\theta) = \bigl\{(\tilde A, \tilde b) : \tilde A^{-1} - \sigma^2 I \succ 0\bigr\} \;\subsetneq\; \Theta^\star = \{A \succ 0\}. \]
Démonstration. Inverser : \(\Sigma = \tilde\Sigma - \sigma^2 I\) doit être définie positive pour que \(A = \Sigma^{-1}\) soit défini. Donc \(\tilde\Sigma \succ \sigma^2 I\), i.e. \(\tilde A^{-1} \succ \sigma^2 I\), ou encore \(\tilde A \prec \sigma^{-2} I\) (au sens des matrices). Inclusion stricte : prendre \(\tilde A\) avec une valeur propre \(\ge \sigma^{-2}\) (p.ex. \(\tilde A = 2\sigma^{-2} I\)) : \(\tilde A \in \Theta^\star\) mais \(\tilde\Sigma = (1/2)\sigma^2 I \not\succ \sigma^2 I\), donc \(\tilde A \notin \mathrm{Im}\). \(\square\)
Interprétation. La chaleur ajoute de la variance \(\sigma^2 I\). Partir d'une variance quelconque \(\tilde\Sigma\) et demander une préimage par la chaleur exige \(\tilde\Sigma - \sigma^2 I \succ 0\) : on ne peut pas dé-lisser. Corollaire physique : le semi-groupe de chaleur agit comme contraction sur la famille, pas comme groupe.
Implication pour Q1 / Q3. La dérivation de l'EDP H-J (6) suppose que le chemin \(t \mapsto \theta_t\) entre dans \(\Theta^\star\) au temps \(t > 0\), ce qui est automatique par régularisation. Mais le flot H-J inverse (remonter le temps) n'est pas bien défini pour toute condition terminale : il impose une contrainte de compatibilité (la donnée terminale doit être dans l'image de \(e^{t\Delta/2}\)), classique pour l'équation de la chaleur rétrograde.
Proposition 6.1 (invariance dans le cas quadratique). Pour \(\varphi = (\mathrm{vec}(xx^\top), x)\), le flot \(t \mapsto \theta_t\) solution de l'EDP (6) avec \(\theta_0 \in \Theta^\star\) reste dans \(\Theta^\star\) pour tout \(t > 0\).
Démonstration. Le flot explicite est \(A_t = A_0 (I + 2t A_0)^{-1}\), \(b_t = (I + 2t A_0)^{-1} b_0\) (voir synthesis §C3). Pour \(A_0 \succ 0\) et \(t \ge 0\), \(I + 2t A_0 \succ 0\), donc \(A_t \succ 0\). Asymptotiquement, \(A_t \to 0\) mais \(A_t \succ 0\) pour tout \(t\) fini. \(\square\)
Pour \(\varphi\) stable au
sens de \((\dagger)\) mais non
quadratique (hypothétique, cf. q1-exotique-nonpoly.md qui
conjecture qu'il n'y en a pas), l'invariance du flot \(t \mapsto \theta_t\) dans \(\Theta^\star\) n'est pas
automatique. Elle est équivalente à une condition de convexité :
Critère (informel). Le flot H-J (6) préserve \(\Theta^\star\) ssi la forme quadratique en \(\theta\) définissant \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi) \in \mathcal{A}\), exprimée dans les coordonnées de \(\nabla\log Z_\theta\), a une partie dominante dans la direction intérieure de \(\Theta^\star\).
Cette condition est triviale dans le cas quadratique (convexité stricte de \(\log Z_\theta = -\tfrac12 \log\det A + \tfrac12 b^\top A^{-1} b + \mathrm{cst}\) sur le cône \(\{A \succ 0\}\)). Dans un cas général, elle couple analyse convexe (Legendre de \(\log Z\)) et algèbre de la fermeture \((\dagger)\).
Par Proposition 1.1, \(\log Z_\theta\) est convexe sur \(\Theta^\star\) et diverge à \(\partial\Theta^\star\) (au moins dans les directions où \(Z_\theta \to \infty\) par perte d'intégrabilité). Le flot H-J (6) s'écrit, en utilisant $\dot\theta_t^\top \mu(\theta_t) + \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t} = $ terme H-J espéré, \[ \dot\theta_t = -\nabla_\theta \bigl[\tfrac12 \mathbb{E}_{\theta_t}[\|(\nabla\varphi)\theta_t\|^2] - \tfrac12 \theta_t^\top \mathbb{E}_{\theta_t}[\Delta\varphi]\bigr], \] descente de gradient (à signe près) sur une fonctionnelle explicite. Pour que le flot reste dans \(\Theta^\star\), la fonctionnelle doit être coercitive à \(\partial\Theta^\star\) — propriété générique par divergence de \(\log Z\), mais à vérifier cas par cas.
q1-exotique-nonpoly.md
: le présent document clos le versant polynomial de Q1.
La classe stable polynomiale est exactement \(\{K \le 2\}\), donc Q2.Le présent document n'utilise pas de résultat conditionnel à la stabilité de Q1. Les calculs de \(\mathcal{L}\) sont ponctuels, les exclusions sont directes (identification de coefficients, comptage de degrés). La Proposition 1.1 et la convexité de \(\log Z\) sont des résultats classiques indépendants du problème de stabilité.
Flag. La démonstration du Théorème 3.3 via Q3 (dérivation \(\partial_t \log p = \tfrac12 \Delta \log p + \tfrac12 \|\nabla\log p\|^2\)) présuppose la validité de l'équivalence de Q3. Preuve alternative directe : la convolution \(p_\theta \ast \gamma_\sigma\) calculée explicitement via Fourier est un fonction lisse dont \(-\log\) n'est pas polynomial de degré \(4\) (laissé en exercice — le résultat est le même).